Kozyrev begon zijn carrière in de Sovjet Unie, waar hij de ondergang van het imperium in beeld bracht in de jaren negentig. Daarna vertok hij naar het buitenland. De aanslagen van 9/11 waren voor hem aanleiding om naar Afghanistan en Irak te gaan, nog voor de oorlog uitbrak. Daar werkte hij tot 2009 als oorlogsfotograaf voor onder andere Time Magazine.
Hij vervolgde zijn carrière met het vastleggen van de Arabische Lente in Noord-Afrika en het Midden-Oosten. Daar maakte Kozyrev twee indrukwekkende fotoseries: 'Arab Revolutions' en 'On Revolution Road'. In 2014, fotografeerde hij vervolgens het conflict in Oekraine en het jaar erop de migratiecrisis in Europa.
Samen met Kadir van Lohuizen is hij medeoprichter van fotoagentschap NOOR. Ze begonnen in 2018 aan een enorme expeditie: ze legden de drastische veranderingen in het Noordpoolgebied vast. Het resultaat is de fotoserie 'Arctic: New Frontier'. Ze maakten ook bewegende beelden; die werden de basis van de Tegenlicht-aflevering 'Verovering van de Noordpool'.
Hij won verschillende prestigieuze prijzen voor zijn oeuvre, waaronder de World Press Photo Award.