Van Eijck studeerde Geneeskunde in Rotterdam, waarna hij werd opgeleid tot chirurg in het Leyenburg Ziekenhuis in Den Haag en het Academisch Ziekenhuis Dijkzigt in Rotterdam.
In 1993 promoveerde Van Eijck op het proefschrift The role of Somatostatin receptors in breast and pancreatic cancer. Zijn focus kwam hiermee te liggen op alvleesklierkanker. In 2009 werd Van Eijck benoemd tot hoogleraar chirurgie met speciale aandacht voor aandoeningen van het pancreas.